Leysa {l}{+3|-5(-7+1|}{x-2019|=|x-}{2x+2y=9}{3x-7y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { + 3 | - 5 ( - 7 + 1 | } \\ { x - 2019 | = | x - } \\ { 2 x + 2 y = 9 } \\ { 3 x - 7 y = 21 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{21}{4} = 5\frac{1}{4} = 5.25$$

$$y=-\frac{3}{4}=-0.75$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+2y=9,3x-7y=21$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+2y=9$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-2y+9$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+9\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -2y+9.

$$x=-y+\frac{9}{2}$$

Settu -y+\frac{9}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-7y=21.

$$3\left(-y+\frac{9}{2}\right)-7y=21$$

Margfaldaðu 3 sinnum -y+\frac{9}{2}.

$$-3y+\frac{27}{2}-7y=21$$

Leggðu -3y saman við -7y.

$$-10y+\frac{27}{2}=21$$

Dragðu \frac{27}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-10y=\frac{15}{2}$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=-\frac{3}{4}$$

Skiptu -\frac{3}{4} út fyrir y í x=-y+\frac{9}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\left(-\frac{3}{4}\right)+\frac{9}{2}$$

Margfaldaðu -1 sinnum -\frac{3}{4}.

$$x=\frac{3}{4}+\frac{9}{2}$$

Leggðu \frac{9}{2} saman við \frac{3}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{21}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{21}{4},y=-\frac{3}{4}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+2y=9,3x-7y=21$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-2\times 3}&-\frac{2}{2\left(-7\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-7\right)-2\times 3}&\frac{2}{2\left(-7\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20}&\frac{1}{10}\\\frac{3}{20}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20}\times 9+\frac{1}{10}\times 21\\\frac{3}{20}\times 9-\frac{1}{10}\times 21\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4}\\-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{21}{4},y=-\frac{3}{4}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+2y=9,3x-7y=21$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\times 2y=3\times 9,2\times 3x+2\left(-7\right)y=2\times 21$$

Einfaldaðu.

$$6x+6y=27,6x-14y=42$$

Dragðu 6x-14y=42 frá 6x+6y=27 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+6y+14y=27-42$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y+14y=27-42$$

Leggðu 6y saman við 14y.

$$20y=27-42$$

Leggðu 27 saman við -42.

$$20y=-15$$

Deildu báðum hliðum með 20.

$$y=-\frac{3}{4}$$

Skiptu -\frac{3}{4} út fyrir y í 3x-7y=21. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-7\left(-\frac{3}{4}\right)=21$$

Margfaldaðu -7 sinnum -\frac{3}{4}.

$$3x+\frac{21}{4}=21$$

Dragðu \frac{21}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=\frac{63}{4}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{21}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{21}{4},y=-\frac{3}{4}$$