Leysa {c}{y-3x+15=10}{6-4x=y}

$$\left. \begin{array} { c } { y - 3 x + 15 = 10 } \\ { 6 - 4 x = y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 15 frá báðum hliðum.

$$y-3x=10-15$$

Dragðu 15 frá 10 til að fá út -5.

$$y-3x=-5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$6-4x-y=0$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$-4x-y=-6$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-3x=-5$$

Leggðu 3x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=3x-5$$

Settu 3x-5 inn fyrir y í hinni jöfnunni, -y-4x=-6.

$$-\left(3x-5\right)-4x=-6$$

Margfaldaðu -1 sinnum 3x-5.

$$-3x+5-4x=-6$$

Leggðu -3x saman við -4x.

$$-7x+5=-6$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-7x=-11$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$x=\frac{11}{7}$$

Skiptu \frac{11}{7} út fyrir x í y=3x-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=3\times \frac{11}{7}-5$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{11}{7}.

$$y=\frac{33}{7}-5$$

Leggðu -5 saman við \frac{33}{7}.

$$y=-\frac{2}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 15 frá báðum hliðum.

$$y-3x=10-15$$

Dragðu 15 frá 10 til að fá út -5.

$$y-3x=-5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$6-4x-y=0$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$-4x-y=-6$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-5\right)-\frac{3}{7}\left(-6\right)\\-\frac{1}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\\\frac{11}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 15 frá báðum hliðum.

$$y-3x=10-15$$

Dragðu 15 frá 10 til að fá út -5.

$$y-3x=-5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$6-4x-y=0$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$-4x-y=-6$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Til að gera y og -y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-y-\left(-3x\right)=-\left(-5\right),-y-4x=-6$$

Einfaldaðu.

$$-y+3x=5,-y-4x=-6$$

Dragðu -y-4x=-6 frá -y+3x=5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-y+y+3x+4x=5+6$$

Leggðu -y saman við y. Liðirnir -y og y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3x+4x=5+6$$

Leggðu 3x saman við 4x.

$$7x=5+6$$

Leggðu 5 saman við 6.

$$7x=11$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{11}{7}$$

Skiptu \frac{11}{7} út fyrir x í -y-4x=-6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-y-4\times \frac{11}{7}=-6$$

Margfaldaðu -4 sinnum \frac{11}{7}.

$$-y-\frac{44}{7}=-6$$

Leggðu \frac{44}{7} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-y=\frac{2}{7}$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=-\frac{2}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$