Leysa {c}{y=x+1000}{0.08x+0.06y=515}

$$\left. \begin{array} { c } { y = x + 1000 } \\ { 0.08 x + 0.06 y = 515 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=3250$$

$$y=4250$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=1000$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-x=1000,0.06y+0.08x=515$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-x=1000$$

Leggðu x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=x+1000$$

Settu x+1000 inn fyrir y í hinni jöfnunni, 0.06y+0.08x=515.

$$0.06\left(x+1000\right)+0.08x=515$$

Margfaldaðu 0.06 sinnum x+1000.

$$0.06x+60+0.08x=515$$

Leggðu \frac{3x}{50} saman við \frac{2x}{25}.

$$0.14x+60=515$$

Dragðu 60 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.14x=455$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.14. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=3250$$

Skiptu 3250 út fyrir x í y=x+1000. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=3250+1000$$

Leggðu 1000 saman við 3250.

$$y=4250$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=4250,x=3250$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=1000$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-x=1000,0.06y+0.08x=515$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\0.06&0.08\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1000\\515\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\0.06&0.08\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.06&0.08\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\0.06&0.08\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.06&0.08\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\515\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.06&0.08\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\515\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.06&0.08\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\515\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.08}{0.08-\left(-0.06\right)}&-\frac{-1}{0.08-\left(-0.06\right)}\\-\frac{0.06}{0.08-\left(-0.06\right)}&\frac{1}{0.08-\left(-0.06\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\515\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&\frac{50}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{50}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\515\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\times 1000+\frac{50}{7}\times 515\\-\frac{3}{7}\times 1000+\frac{50}{7}\times 515\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4250\\3250\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=4250,x=3250$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=1000$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-x=1000,0.06y+0.08x=515$$

Til að gera y og \frac{3y}{50} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 0.06 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$0.06y+0.06\left(-1\right)x=0.06\times 1000,0.06y+0.08x=515$$

Einfaldaðu.

$$0.06y-0.06x=60,0.06y+0.08x=515$$

Dragðu 0.06y+0.08x=515 frá 0.06y-0.06x=60 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$0.06y-0.06y-0.06x-0.08x=60-515$$

Leggðu \frac{3y}{50} saman við -\frac{3y}{50}. Liðirnir \frac{3y}{50} og -\frac{3y}{50} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-0.06x-0.08x=60-515$$

Leggðu -\frac{3x}{50} saman við -\frac{2x}{25}.

$$-0.14x=60-515$$

Leggðu 60 saman við -515.

$$-0.14x=-455$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -0.14. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=3250$$

Skiptu 3250 út fyrir x í 0.06y+0.08x=515. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$0.06y+0.08\times 3250=515$$

Margfaldaðu 0.08 sinnum 3250.

$$0.06y+260=515$$

Dragðu 260 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.06y=255$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.06. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=4250$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=4250,x=3250$$