Leysa {c}{y=5x-1}{y=10x-29}

$$\left. \begin{array} { c } { y = 5 x - 1 } \\ { y = 10 x - 29 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x = \frac{28}{5} = 5\frac{3}{5} = 5.6$$

$$y=27$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$y-5x=-1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 10x frá báðum hliðum.

$$y-10x=-29$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-5x=-1,y-10x=-29$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-5x=-1$$

Leggðu 5x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=5x-1$$

Settu 5x-1 inn fyrir y í hinni jöfnunni, y-10x=-29.

$$5x-1-10x=-29$$

Leggðu 5x saman við -10x.

$$-5x-1=-29$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-5x=-28$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=\frac{28}{5}$$

Skiptu \frac{28}{5} út fyrir x í y=5x-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=5\times \frac{28}{5}-1$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{28}{5}.

$$y=28-1$$

Leggðu -1 saman við 28.

$$y=27$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=27,x=\frac{28}{5}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$y-5x=-1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 10x frá báðum hliðum.

$$y-10x=-29$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-5x=-1,y-10x=-29$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-29\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-5\\1&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-29\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-29\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-29\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{-10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{-10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{-10-\left(-5\right)}&\frac{1}{-10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-29\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-29\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-1\right)-\left(-29\right)\\\frac{1}{5}\left(-1\right)-\frac{1}{5}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\\frac{28}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=27,x=\frac{28}{5}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$y-5x=-1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 10x frá báðum hliðum.

$$y-10x=-29$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-5x=-1,y-10x=-29$$

Dragðu y-10x=-29 frá y-5x=-1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y-5x+10x=-1+29$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-5x+10x=-1+29$$

Leggðu -5x saman við 10x.

$$5x=-1+29$$

Leggðu -1 saman við 29.

$$5x=28$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{28}{5}$$

Skiptu \frac{28}{5} út fyrir x í y-10x=-29. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y-10\times \frac{28}{5}=-29$$

Margfaldaðu -10 sinnum \frac{28}{5}.

$$y-56=-29$$

Leggðu 56 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=27$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=27,x=\frac{28}{5}$$