Leysa {c}{y=-3x+1}{y=x-7}

$$\left. \begin{array} { c } { y = - 3 x + 1 } \\ { y = x - 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=2$$

$$y=-5$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 3x við báðar hliðar.

$$y+3x=1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=-7$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y+3x=1,y-x=-7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y+3x=1$$

Dragðu 3x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-3x+1$$

Settu -3x+1 inn fyrir y í hinni jöfnunni, y-x=-7.

$$-3x+1-x=-7$$

Leggðu -3x saman við -x.

$$-4x+1=-7$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4x=-8$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=2$$

Skiptu 2 út fyrir x í y=-3x+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-3\times 2+1$$

Margfaldaðu -3 sinnum 2.

$$y=-6+1$$

Leggðu 1 saman við -6.

$$y=-5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-5,x=2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 3x við báðar hliðar.

$$y+3x=1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=-7$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y+3x=1,y-x=-7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3}&-\frac{3}{-1-3}\\-\frac{1}{-1-3}&\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\left(-7\right)\\\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-5,x=2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 3x við báðar hliðar.

$$y+3x=1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=-7$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y+3x=1,y-x=-7$$

Dragðu y-x=-7 frá y+3x=1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$y-y+3x+x=1+7$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3x+x=1+7$$

Leggðu 3x saman við x.

$$4x=1+7$$

Leggðu 1 saman við 7.

$$4x=8$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=2$$

Skiptu 2 út fyrir x í y-x=-7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y-2=-7$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=-5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-5,x=2$$