Leysa {c}{x-3y=6}{-8x-y=6}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 y = 6 } \\ { - 8 x - y = 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{12}{25}=-0.48$$

$$y = -\frac{54}{25} = -2\frac{4}{25} = -2.16$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-3y=6$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=3y+6$$

Settu 6+3y inn fyrir x í hinni jöfnunni, -8x-y=6.

$$-8\left(3y+6\right)-y=6$$

Margfaldaðu -8 sinnum 6+3y.

$$-24y-48-y=6$$

Leggðu -24y saman við -y.

$$-25y-48=6$$

Leggðu 48 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-25y=54$$

Deildu báðum hliðum með -25.

$$y=-\frac{54}{25}$$

Skiptu -\frac{54}{25} út fyrir y í x=3y+6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=3\left(-\frac{54}{25}\right)+6$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{54}{25}.

$$x=-\frac{162}{25}+6$$

Leggðu 6 saman við -\frac{162}{25}.

$$x=-\frac{12}{25}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&-\frac{3}{25}\\-\frac{8}{25}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}\times 6-\frac{3}{25}\times 6\\-\frac{8}{25}\times 6-\frac{1}{25}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{25}\\-\frac{54}{25}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

Til að gera x og -8x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-8x-8\left(-3\right)y=-8\times 6,-8x-y=6$$

Einfaldaðu.

$$-8x+24y=-48,-8x-y=6$$

Dragðu -8x-y=6 frá -8x+24y=-48 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-8x+8x+24y+y=-48-6$$

Leggðu -8x saman við 8x. Liðirnir -8x og 8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$24y+y=-48-6$$

Leggðu 24y saman við y.

$$25y=-48-6$$

Leggðu -48 saman við -6.

$$25y=-54$$

Deildu báðum hliðum með 25.

$$y=-\frac{54}{25}$$

Skiptu -\frac{54}{25} út fyrir y í -8x-y=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-8x-\left(-\frac{54}{25}\right)=6$$

Dragðu \frac{54}{25} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-8x=\frac{96}{25}$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$x=-\frac{12}{25}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$