Leysa {c}{x-3y=3}{2x+3y=6}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 y = 3 } \\ { 2 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=0$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-3y=3,2x+3y=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-3y=3$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=3y+3$$

Settu 3+3y inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+3y=6.

$$2\left(3y+3\right)+3y=6$$

Margfaldaðu 2 sinnum 3+3y.

$$6y+6+3y=6$$

Leggðu 6y saman við 3y.

$$9y+6=6$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9y=0$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x=3y+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=0$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-3y=3,2x+3y=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-3\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\times 6\\-\frac{2}{9}\times 3+\frac{1}{9}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=0$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-3y=3,2x+3y=6$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2\left(-3\right)y=2\times 3,2x+3y=6$$

Einfaldaðu.

$$2x-6y=6,2x+3y=6$$

Dragðu 2x+3y=6 frá 2x-6y=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x-6y-3y=6-6$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-6y-3y=6-6$$

Leggðu -6y saman við -3y.

$$-9y=6-6$$

Leggðu 6 saman við -6.

$$-9y=0$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í 2x+3y=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x=6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=0$$