Leysa {c}{x+y=89}{2x+y=23y}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 89 } \\ { 2 x + y = 23 y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{979}{12} = 81\frac{7}{12} \approx 81.583333333$$

$$y = \frac{89}{12} = 7\frac{5}{12} \approx 7.416666667$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 23y frá báðum hliðum.

$$2x+y-23y=0$$

Sameinaðu y og -23y til að fá -22y.

$$2x-22y=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=89$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+89$$

Settu -y+89 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-22y=0.

$$2\left(-y+89\right)-22y=0$$

Margfaldaðu 2 sinnum -y+89.

$$-2y+178-22y=0$$

Leggðu -2y saman við -22y.

$$-24y+178=0$$

Dragðu 178 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-24y=-178$$

Deildu báðum hliðum með -24.

$$y=\frac{89}{12}$$

Skiptu \frac{89}{12} út fyrir y í x=-y+89. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{89}{12}+89$$

Leggðu 89 saman við -\frac{89}{12}.

$$x=\frac{979}{12}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 23y frá báðum hliðum.

$$2x+y-23y=0$$

Sameinaðu y og -23y til að fá -22y.

$$2x-22y=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{-22-2}&-\frac{1}{-22-2}\\-\frac{2}{-22-2}&\frac{1}{-22-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}\times 89\\\frac{1}{12}\times 89\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{979}{12}\\\frac{89}{12}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 23y frá báðum hliðum.

$$2x+y-23y=0$$

Sameinaðu y og -23y til að fá -22y.

$$2x-22y=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2y=2\times 89,2x-22y=0$$

Einfaldaðu.

$$2x+2y=178,2x-22y=0$$

Dragðu 2x-22y=0 frá 2x+2y=178 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+2y+22y=178$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y+22y=178$$

Leggðu 2y saman við 22y.

$$24y=178$$

Deildu báðum hliðum með 24.

$$y=\frac{89}{12}$$

Skiptu \frac{89}{12} út fyrir y í 2x-22y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-22\times \frac{89}{12}=0$$

Margfaldaðu -22 sinnum \frac{89}{12}.

$$2x-\frac{979}{6}=0$$

Leggðu \frac{979}{6} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=\frac{979}{6}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{979}{12}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$