Leysa {c}{x+y=89}{2x+y=23}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 89 } \\ { 2 x + y = 23 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-66$$

$$y=155$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=89,2x+y=23$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=89$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+89$$

Settu -y+89 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y=23.

$$2\left(-y+89\right)+y=23$$

Margfaldaðu 2 sinnum -y+89.

$$-2y+178+y=23$$

Leggðu -2y saman við y.

$$-y+178=23$$

Dragðu 178 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-y=-155$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=155$$

Skiptu 155 út fyrir y í x=-y+89. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-155+89$$

Leggðu 89 saman við -155.

$$x=-66$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-66,y=155$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=89,2x+y=23$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}89\\23\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\23\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\23\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\23\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\23\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\23\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-89+23\\2\times 89-23\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-66\\155\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-66,y=155$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=89,2x+y=23$$

Dragðu 2x+y=23 frá x+y=89 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-2x+y-y=89-23$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$x-2x=89-23$$

Leggðu x saman við -2x.

$$-x=89-23$$

Leggðu 89 saman við -23.

$$-x=66$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-66$$

Skiptu -66 út fyrir x í 2x+y=23. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$2\left(-66\right)+y=23$$

Margfaldaðu 2 sinnum -66.

$$-132+y=23$$

Leggðu 132 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=155$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-66,y=155$$