Leysa {c}{x+y=8}{40x+55y=410}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 } \\ { 40 x + 55 y = 410 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=8$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+8$$

Settu -y+8 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 40x+55y=410.

$$40\left(-y+8\right)+55y=410$$

Margfaldaðu 40 sinnum -y+8.

$$-40y+320+55y=410$$

Leggðu -40y saman við 55y.

$$15y+320=410$$

Dragðu 320 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$15y=90$$

Deildu báðum hliðum með 15.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í x=-y+8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-6+8$$

Leggðu 8 saman við -6.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=6$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{55-40}&-\frac{1}{55-40}\\-\frac{40}{55-40}&\frac{1}{55-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}&-\frac{1}{15}\\-\frac{8}{3}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}\times 8-\frac{1}{15}\times 410\\-\frac{8}{3}\times 8+\frac{1}{15}\times 410\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=6$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

Til að gera x og 40x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 40 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$40x+40y=40\times 8,40x+55y=410$$

Einfaldaðu.

$$40x+40y=320,40x+55y=410$$

Dragðu 40x+55y=410 frá 40x+40y=320 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$40x-40x+40y-55y=320-410$$

Leggðu 40x saman við -40x. Liðirnir 40x og -40x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$40y-55y=320-410$$

Leggðu 40y saman við -55y.

$$-15y=320-410$$

Leggðu 320 saman við -410.

$$-15y=-90$$

Deildu báðum hliðum með -15.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í 40x+55y=410. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$40x+55\times 6=410$$

Margfaldaðu 55 sinnum 6.

$$40x+330=410$$

Dragðu 330 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$40x=80$$

Deildu báðum hliðum með 40.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=6$$