Leysa {c}{x+y=64}{12x-26y=19}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 64 } \\ { 12 x - 26 y = 19 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{1683}{38} = 44\frac{11}{38} \approx 44.289473684$$

$$y = \frac{749}{38} = 19\frac{27}{38} \approx 19.710526316$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=64,12x-26y=19$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=64$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+64$$

Settu -y+64 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 12x-26y=19.

$$12\left(-y+64\right)-26y=19$$

Margfaldaðu 12 sinnum -y+64.

$$-12y+768-26y=19$$

Leggðu -12y saman við -26y.

$$-38y+768=19$$

Dragðu 768 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-38y=-749$$

Deildu báðum hliðum með -38.

$$y=\frac{749}{38}$$

Skiptu \frac{749}{38} út fyrir y í x=-y+64. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{749}{38}+64$$

Leggðu 64 saman við -\frac{749}{38}.

$$x=\frac{1683}{38}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1683}{38},y=\frac{749}{38}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=64,12x-26y=19$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&-26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{26}{-26-12}&-\frac{1}{-26-12}\\-\frac{12}{-26-12}&\frac{1}{-26-12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}&\frac{1}{38}\\\frac{6}{19}&-\frac{1}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}\times 64+\frac{1}{38}\times 19\\\frac{6}{19}\times 64-\frac{1}{38}\times 19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1683}{38}\\\frac{749}{38}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{1683}{38},y=\frac{749}{38}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=64,12x-26y=19$$

Til að gera x og 12x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 12 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$12x+12y=12\times 64,12x-26y=19$$

Einfaldaðu.

$$12x+12y=768,12x-26y=19$$

Dragðu 12x-26y=19 frá 12x+12y=768 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x+12y+26y=768-19$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y+26y=768-19$$

Leggðu 12y saman við 26y.

$$38y=768-19$$

Leggðu 768 saman við -19.

$$38y=749$$

Deildu báðum hliðum með 38.

$$y=\frac{749}{38}$$

Skiptu \frac{749}{38} út fyrir y í 12x-26y=19. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$12x-26\times \frac{749}{38}=19$$

Margfaldaðu -26 sinnum \frac{749}{38}.

$$12x-\frac{9737}{19}=19$$

Leggðu \frac{9737}{19} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$12x=\frac{10098}{19}$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$x=\frac{1683}{38}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1683}{38},y=\frac{749}{38}$$