Leysa {c}{x+y=64}{12x+26y=19}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 64 } \\ { 12 x + 26 y = 19 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{235}{2} = 117\frac{1}{2} = 117.5$$

$$y = -\frac{107}{2} = -53\frac{1}{2} = -53.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=64$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+64$$

Settu -y+64 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 12x+26y=19.

$$12\left(-y+64\right)+26y=19$$

Margfaldaðu 12 sinnum -y+64.

$$-12y+768+26y=19$$

Leggðu -12y saman við 26y.

$$14y+768=19$$

Dragðu 768 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$14y=-749$$

Deildu báðum hliðum með 14.

$$y=-\frac{107}{2}$$

Skiptu -\frac{107}{2} út fyrir y í x=-y+64. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\left(-\frac{107}{2}\right)+64$$

Margfaldaðu -1 sinnum -\frac{107}{2}.

$$x=\frac{107}{2}+64$$

Leggðu 64 saman við \frac{107}{2}.

$$x=\frac{235}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{26}{26-12}&-\frac{1}{26-12}\\-\frac{12}{26-12}&\frac{1}{26-12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{6}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}\times 64-\frac{1}{14}\times 19\\-\frac{6}{7}\times 64+\frac{1}{14}\times 19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{235}{2}\\-\frac{107}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

Til að gera x og 12x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 12 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$12x+12y=12\times 64,12x+26y=19$$

Einfaldaðu.

$$12x+12y=768,12x+26y=19$$

Dragðu 12x+26y=19 frá 12x+12y=768 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x+12y-26y=768-19$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y-26y=768-19$$

Leggðu 12y saman við -26y.

$$-14y=768-19$$

Leggðu 768 saman við -19.

$$-14y=749$$

Deildu báðum hliðum með -14.

$$y=-\frac{107}{2}$$

Skiptu -\frac{107}{2} út fyrir y í 12x+26y=19. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$12x+26\left(-\frac{107}{2}\right)=19$$

Margfaldaðu 26 sinnum -\frac{107}{2}.

$$12x-1391=19$$

Leggðu 1391 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$12x=1410$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$x=\frac{235}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$