Leysa {c}{x+y=500}{50x+80y=28000}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 500 } \\ { 50 x + 80 y = 28000 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=400$$

$$y=100$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=500$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+500$$

Settu -y+500 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 50x+80y=28000.

$$50\left(-y+500\right)+80y=28000$$

Margfaldaðu 50 sinnum -y+500.

$$-50y+25000+80y=28000$$

Leggðu -50y saman við 80y.

$$30y+25000=28000$$

Dragðu 25000 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$30y=3000$$

Deildu báðum hliðum með 30.

$$y=100$$

Skiptu 100 út fyrir y í x=-y+500. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-100+500$$

Leggðu 500 saman við -100.

$$x=400$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=400,y=100$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-50}&-\frac{1}{80-50}\\-\frac{50}{80-50}&\frac{1}{80-50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{1}{30}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times 500-\frac{1}{30}\times 28000\\-\frac{5}{3}\times 500+\frac{1}{30}\times 28000\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\100\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=400,y=100$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

Til að gera x og 50x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 50 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$50x+50y=50\times 500,50x+80y=28000$$

Einfaldaðu.

$$50x+50y=25000,50x+80y=28000$$

Dragðu 50x+80y=28000 frá 50x+50y=25000 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$50x-50x+50y-80y=25000-28000$$

Leggðu 50x saman við -50x. Liðirnir 50x og -50x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$50y-80y=25000-28000$$

Leggðu 50y saman við -80y.

$$-30y=25000-28000$$

Leggðu 25000 saman við -28000.

$$-30y=-3000$$

Deildu báðum hliðum með -30.

$$y=100$$

Skiptu 100 út fyrir y í 50x+80y=28000. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$50x+80\times 100=28000$$

Margfaldaðu 80 sinnum 100.

$$50x+8000=28000$$

Dragðu 8000 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$50x=20000$$

Deildu báðum hliðum með 50.

$$x=400$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=400,y=100$$