Leysa {c}{x+y=3600}{4x+2y=11000}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 3600 } \\ { 4 x + 2 y = 11000 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1900$$

$$y=1700$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=3600,4x+2y=11000$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=3600$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+3600$$

Settu -y+3600 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+2y=11000.

$$4\left(-y+3600\right)+2y=11000$$

Margfaldaðu 4 sinnum -y+3600.

$$-4y+14400+2y=11000$$

Leggðu -4y saman við 2y.

$$-2y+14400=11000$$

Dragðu 14400 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2y=-3400$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=1700$$

Skiptu 1700 út fyrir y í x=-y+3600. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-1700+3600$$

Leggðu 3600 saman við -1700.

$$x=1900$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1900,y=1700$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=3600,4x+2y=11000$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3600\\11000\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3600\\11000\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3600\\11000\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3600\\11000\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{1}{2-4}\\-\frac{4}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3600\\11000\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\2&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3600\\11000\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3600+\frac{1}{2}\times 11000\\2\times 3600-\frac{1}{2}\times 11000\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1900\\1700\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1900,y=1700$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=3600,4x+2y=11000$$

Til að gera x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$4x+4y=4\times 3600,4x+2y=11000$$

Einfaldaðu.

$$4x+4y=14400,4x+2y=11000$$

Dragðu 4x+2y=11000 frá 4x+4y=14400 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4x-4x+4y-2y=14400-11000$$

Leggðu 4x saman við -4x. Liðirnir 4x og -4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y-2y=14400-11000$$

Leggðu 4y saman við -2y.

$$2y=14400-11000$$

Leggðu 14400 saman við -11000.

$$2y=3400$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=1700$$

Skiptu 1700 út fyrir y í 4x+2y=11000. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+2\times 1700=11000$$

Margfaldaðu 2 sinnum 1700.

$$4x+3400=11000$$

Dragðu 3400 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=7600$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=1900$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1900,y=1700$$