Leysa {c}{x+y=21}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 21 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=11.5$$

$$y=9.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=21$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+21$$

Settu -y+21 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 0.25x+0.05y=3.35.

$$0.25\left(-y+21\right)+0.05y=3.35$$

Margfaldaðu 0.25 sinnum -y+21.

$$-0.25y+5.25+0.05y=3.35$$

Leggðu -\frac{y}{4} saman við \frac{y}{20}.

$$-0.2y+5.25=3.35$$

Dragðu 5.25 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-0.2y=-1.9$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -5.

$$y=9.5$$

Skiptu 9.5 út fyrir y í x=-y+21. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-9.5+21$$

Leggðu 21 saman við -9.5.

$$x=11.5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=11.5,y=9.5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 21+5\times 3.35\\1.25\times 21-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11.5\\9.5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=11.5,y=9.5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Til að gera x og \frac{x}{4} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 0.25 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 21,0.25x+0.05y=3.35$$

Einfaldaðu.

$$0.25x+0.25y=5.25,0.25x+0.05y=3.35$$

Dragðu 0.25x+0.05y=3.35 frá 0.25x+0.25y=5.25 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Leggðu \frac{x}{4} saman við -\frac{x}{4}. Liðirnir \frac{x}{4} og -\frac{x}{4} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Leggðu \frac{y}{4} saman við -\frac{y}{20}.

$$0.2y=5.25-3.35$$

Leggðu 5.25 saman við -3.35 með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$0.2y=1.9$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 5.

$$y=9.5$$

Skiptu 9.5 út fyrir y í 0.25x+0.05y=3.35. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$0.25x+0.05\times 9.5=3.35$$

Margfaldaðu 0.05 sinnum 9.5 með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$0.25x+0.475=3.35$$

Dragðu 0.475 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.25x=2.875$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 4.

$$x=11.5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=11.5,y=9.5$$