Leysa {c}{x+y=122}{(y/2-11)-(x-11/2)=18}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 122 } \\ { ( \frac { y } { 2 } - 11 ) - ( \frac { x - 11 } { 2 } ) = 18 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{75}{2} = 37\frac{1}{2} = 37.5$$

$$y = \frac{169}{2} = 84\frac{1}{2} = 84.5$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

Til að finna andstæðu x-11 skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$y-22-x+11=36$$

Leggðu saman -22 og 11 til að fá -11.

$$y-11-x=36$$

Bættu 11 við báðar hliðar.

$$y-x=36+11$$

Leggðu saman 36 og 11 til að fá 47.

$$y-x=47$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=122$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+122$$

Settu -y+122 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+y=47.

$$-\left(-y+122\right)+y=47$$

Margfaldaðu -1 sinnum -y+122.

$$y-122+y=47$$

Leggðu y saman við y.

$$2y-122=47$$

Leggðu 122 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2y=169$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=\frac{169}{2}$$

Skiptu \frac{169}{2} út fyrir y í x=-y+122. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{169}{2}+122$$

Leggðu 122 saman við -\frac{169}{2}.

$$x=\frac{75}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

Til að finna andstæðu x-11 skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$y-22-x+11=36$$

Leggðu saman -22 og 11 til að fá -11.

$$y-11-x=36$$

Bættu 11 við báðar hliðar.

$$y-x=36+11$$

Leggðu saman 36 og 11 til að fá 47.

$$y-x=47$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 122-\frac{1}{2}\times 47\\\frac{1}{2}\times 122+\frac{1}{2}\times 47\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{75}{2}\\\frac{169}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

Til að finna andstæðu x-11 skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$y-22-x+11=36$$

Leggðu saman -22 og 11 til að fá -11.

$$y-11-x=36$$

Bættu 11 við báðar hliðar.

$$y-x=36+11$$

Leggðu saman 36 og 11 til að fá 47.

$$y-x=47$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Dragðu -x+y=47 frá x+y=122 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x+x+y-y=122-47$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$x+x=122-47$$

Leggðu x saman við x.

$$2x=122-47$$

Leggðu 122 saman við -47.

$$2x=75$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{75}{2}$$

Skiptu \frac{75}{2} út fyrir x í -x+y=47. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-\frac{75}{2}+y=47$$

Leggðu \frac{75}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=\frac{169}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$