Leysa {c}{x+2y=50}{2x+y=40}

$$\left. \begin{array} { c } { x + 2 y = 50 } \\ { 2 x + y = 40 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=10$$

$$y=20$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+2y=50,2x+y=40$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+2y=50$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-2y+50$$

Settu -2y+50 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y=40.

$$2\left(-2y+50\right)+y=40$$

Margfaldaðu 2 sinnum -2y+50.

$$-4y+100+y=40$$

Leggðu -4y saman við y.

$$-3y+100=40$$

Dragðu 100 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3y=-60$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=20$$

Skiptu 20 út fyrir y í x=-2y+50. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times 20+50$$

Margfaldaðu -2 sinnum 20.

$$x=-40+50$$

Leggðu 50 saman við -40.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=20$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+2y=50,2x+y=40$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times 2}&-\frac{2}{1-2\times 2}\\-\frac{2}{1-2\times 2}&\frac{1}{1-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 50+\frac{2}{3}\times 40\\\frac{2}{3}\times 50-\frac{1}{3}\times 40\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=10,y=20$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+2y=50,2x+y=40$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2\times 2y=2\times 50,2x+y=40$$

Einfaldaðu.

$$2x+4y=100,2x+y=40$$

Dragðu 2x+y=40 frá 2x+4y=100 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+4y-y=100-40$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y-y=100-40$$

Leggðu 4y saman við -y.

$$3y=100-40$$

Leggðu 100 saman við -40.

$$3y=60$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=20$$

Skiptu 20 út fyrir y í 2x+y=40. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+20=40$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=20$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=20$$