Leysa {c}{8x+6y=-10}{-8x-5y=15}

$$\left. \begin{array} { c } { 8 x + 6 y = - 10 } \\ { - 8 x - 5 y = 15 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-5$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$8x+6y=-10$$

Dragðu 6y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$8x=-6y-10$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-6y-10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{8} sinnum -6y-10.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

Settu \frac{-3y-5}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -8x-5y=15.

$$-8\left(-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}\right)-5y=15$$

Margfaldaðu -8 sinnum \frac{-3y-5}{4}.

$$6y+10-5y=15$$

Leggðu 6y saman við -5y.

$$y+10=15$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{4}\times 5-\frac{5}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{4} sinnum 5.

$$x=\frac{-15-5}{4}$$

Leggðu -\frac{5}{4} saman við -\frac{15}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-5,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}&-\frac{6}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}&\frac{8}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\left(-10\right)-\frac{3}{4}\times 15\\-10+15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-5,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

Til að gera 8x og -8x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 8.

$$-8\times 8x-8\times 6y=-8\left(-10\right),8\left(-8\right)x+8\left(-5\right)y=8\times 15$$

Einfaldaðu.

$$-64x-48y=80,-64x-40y=120$$

Dragðu -64x-40y=120 frá -64x-48y=80 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-64x+64x-48y+40y=80-120$$

Leggðu -64x saman við 64x. Liðirnir -64x og 64x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-48y+40y=80-120$$

Leggðu -48y saman við 40y.

$$-8y=80-120$$

Leggðu 80 saman við -120.

$$-8y=-40$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í -8x-5y=15. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-8x-5\times 5=15$$

Margfaldaðu -5 sinnum 5.

$$-8x-25=15$$

Leggðu 25 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-8x=40$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$x=-5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-5,y=5$$