Leysa {c}{7x+5y=54}{3x+4y=38}

$$\left. \begin{array} { c } { 7 x + 5 y = 54 } \\ { 3 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=8$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$7x+5y=54$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=-5y+54$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+54\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum -5y+54.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}$$

Settu \frac{-5y+54}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+4y=38.

$$3\left(-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}\right)+4y=38$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-5y+54}{7}.

$$-\frac{15}{7}y+\frac{162}{7}+4y=38$$

Leggðu -\frac{15y}{7} saman við 4y.

$$\frac{13}{7}y+\frac{162}{7}=38$$

Dragðu \frac{162}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{13}{7}y=\frac{104}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{13}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=8$$

Skiptu 8 út fyrir y í x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{7}\times 8+\frac{54}{7}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{7} sinnum 8.

$$x=\frac{-40+54}{7}$$

Leggðu \frac{54}{7} saman við -\frac{40}{7} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=8$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-5\times 3}&-\frac{5}{7\times 4-5\times 3}\\-\frac{3}{7\times 4-5\times 3}&\frac{7}{7\times 4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{7}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\times 54-\frac{5}{13}\times 38\\-\frac{3}{13}\times 54+\frac{7}{13}\times 38\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=8$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

Til að gera 7x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 7.

$$3\times 7x+3\times 5y=3\times 54,7\times 3x+7\times 4y=7\times 38$$

Einfaldaðu.

$$21x+15y=162,21x+28y=266$$

Dragðu 21x+28y=266 frá 21x+15y=162 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$21x-21x+15y-28y=162-266$$

Leggðu 21x saman við -21x. Liðirnir 21x og -21x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$15y-28y=162-266$$

Leggðu 15y saman við -28y.

$$-13y=162-266$$

Leggðu 162 saman við -266.

$$-13y=-104$$

Deildu báðum hliðum með -13.

$$y=8$$

Skiptu 8 út fyrir y í 3x+4y=38. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+4\times 8=38$$

Margfaldaðu 4 sinnum 8.

$$3x+32=38$$

Dragðu 32 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=8$$