Leysa {c}{7x+5y=54}{-2x+3y=-24}

$$\left. \begin{array} { c } { 7 x + 5 y = 54 } \\ { - 2 x + 3 y = - 24 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{282}{31} = 9\frac{3}{31} \approx 9.096774194$$

$$y = -\frac{60}{31} = -1\frac{29}{31} \approx -1.935483871$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$7x+5y=54,-2x+3y=-24$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$7x+5y=54$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=-5y+54$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+54\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum -5y+54.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}$$

Settu \frac{-5y+54}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x+3y=-24.

$$-2\left(-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}\right)+3y=-24$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{-5y+54}{7}.

$$\frac{10}{7}y-\frac{108}{7}+3y=-24$$

Leggðu \frac{10y}{7} saman við 3y.

$$\frac{31}{7}y-\frac{108}{7}=-24$$

Leggðu \frac{108}{7} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{31}{7}y=-\frac{60}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{31}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{60}{31}$$

Skiptu -\frac{60}{31} út fyrir y í x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{7}\left(-\frac{60}{31}\right)+\frac{54}{7}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{7} sinnum -\frac{60}{31} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{300}{217}+\frac{54}{7}$$

Leggðu \frac{54}{7} saman við \frac{300}{217} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{282}{31}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{282}{31},y=-\frac{60}{31}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$7x+5y=54,-2x+3y=-24$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}54\\-24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}7&5\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\-24\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\-24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\-24\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7\times 3-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{7\times 3-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{7\times 3-5\left(-2\right)}&\frac{7}{7\times 3-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\-24\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{31}&-\frac{5}{31}\\\frac{2}{31}&\frac{7}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\-24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{31}\times 54-\frac{5}{31}\left(-24\right)\\\frac{2}{31}\times 54+\frac{7}{31}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{282}{31}\\-\frac{60}{31}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{282}{31},y=-\frac{60}{31}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$7x+5y=54,-2x+3y=-24$$

Til að gera 7x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 7.

$$-2\times 7x-2\times 5y=-2\times 54,7\left(-2\right)x+7\times 3y=7\left(-24\right)$$

Einfaldaðu.

$$-14x-10y=-108,-14x+21y=-168$$

Dragðu -14x+21y=-168 frá -14x-10y=-108 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-14x+14x-10y-21y=-108+168$$

Leggðu -14x saman við 14x. Liðirnir -14x og 14x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-10y-21y=-108+168$$

Leggðu -10y saman við -21y.

$$-31y=-108+168$$

Leggðu -108 saman við 168.

$$-31y=60$$

Deildu báðum hliðum með -31.

$$y=-\frac{60}{31}$$

Skiptu -\frac{60}{31} út fyrir y í -2x+3y=-24. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x+3\left(-\frac{60}{31}\right)=-24$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{60}{31}.

$$-2x-\frac{180}{31}=-24$$

Leggðu \frac{180}{31} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2x=-\frac{564}{31}$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=\frac{282}{31}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{282}{31},y=-\frac{60}{31}$$