Leysa {c}{6x-2y=5}{3x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 6 x - 2 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x-2y=5,3x-2y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x-2y=5$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x=2y+5$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(2y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum 2y+5.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{6}$$

Settu \frac{y}{3}+\frac{5}{6} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-2y=2.

$$3\left(\frac{1}{3}y+\frac{5}{6}\right)-2y=2$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{y}{3}+\frac{5}{6}.

$$y+\frac{5}{2}-2y=2$$

Leggðu y saman við -2y.

$$-y+\frac{5}{2}=2$$

Dragðu \frac{5}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-y=-\frac{1}{2}$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=\frac{1}{2}$$

Skiptu \frac{1}{2} út fyrir y í x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{6}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{5}{6}$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum \frac{1}{2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{1+5}{6}$$

Leggðu \frac{5}{6} saman við \frac{1}{6} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=\frac{1}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x-2y=5,3x-2y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{6\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{6\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{6}{6\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 2\\\frac{1}{2}\times 5-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=\frac{1}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x-2y=5,3x-2y=2$$

Dragðu 3x-2y=2 frá 6x-2y=5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-3x-2y+2y=5-2$$

Leggðu -2y saman við 2y. Liðirnir -2y og 2y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6x-3x=5-2$$

Leggðu 6x saman við -3x.

$$3x=5-2$$

Leggðu 5 saman við -2.

$$3x=3$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=1$$

Skiptu 1 út fyrir x í 3x-2y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$3-2y=2$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2y=-1$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=\frac{1}{2}$$