Leysa {c}{5x+2y=-1}{-5x+y=7}

$$\left. \begin{array} { c } { 5 x + 2 y = - 1 } \\ { - 5 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+2y=-1,-5x+y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+2y=-1$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-2y-1$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y-1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -2y-1.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{1}{5}$$

Settu \frac{-2y-1}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -5x+y=7.

$$-5\left(-\frac{2}{5}y-\frac{1}{5}\right)+y=7$$

Margfaldaðu -5 sinnum \frac{-2y-1}{5}.

$$2y+1+y=7$$

Leggðu 2y saman við y.

$$3y+1=7$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3y=6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{2}{5}y-\frac{1}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{5}\times 2-\frac{1}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{5} sinnum 2.

$$x=\frac{-4-1}{5}$$

Leggðu -\frac{1}{5} saman við -\frac{4}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+2y=-1,-5x+y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&2\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2\left(-5\right)}&-\frac{2}{5-2\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{5-2\left(-5\right)}&\frac{5}{5-2\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{2}{15}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\left(-1\right)-\frac{2}{15}\times 7\\\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+2y=-1,-5x+y=7$$

Til að gera 5x og -5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$-5\times 5x-5\times 2y=-5\left(-1\right),5\left(-5\right)x+5y=5\times 7$$

Einfaldaðu.

$$-25x-10y=5,-25x+5y=35$$

Dragðu -25x+5y=35 frá -25x-10y=5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-25x+25x-10y-5y=5-35$$

Leggðu -25x saman við 25x. Liðirnir -25x og 25x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-10y-5y=5-35$$

Leggðu -10y saman við -5y.

$$-15y=5-35$$

Leggðu 5 saman við -35.

$$-15y=-30$$

Deildu báðum hliðum með -15.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í -5x+y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-5x+2=7$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5x=5$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=2$$