Leysa {c}{40x+60y=480}{30x+15y=180}

$$\left. \begin{array} { c } { 40 x + 60 y = 480 } \\ { 30 x + 15 y = 180 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$40x+60y=480$$

Dragðu 60y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$40x=-60y+480$$

Deildu báðum hliðum með 40.

$$x=\frac{1}{40}\left(-60y+480\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{40} sinnum -60y+480.

$$x=-\frac{3}{2}y+12$$

Settu -\frac{3y}{2}+12 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 30x+15y=180.

$$30\left(-\frac{3}{2}y+12\right)+15y=180$$

Margfaldaðu 30 sinnum -\frac{3y}{2}+12.

$$-45y+360+15y=180$$

Leggðu -45y saman við 15y.

$$-30y+360=180$$

Dragðu 360 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-30y=-180$$

Deildu báðum hliðum með -30.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+12$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum 6.

$$x=-9+12$$

Leggðu 12 saman við -9.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=6$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-60\times 30}&-\frac{60}{40\times 15-60\times 30}\\-\frac{30}{40\times 15-60\times 30}&\frac{40}{40\times 15-60\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 480+\frac{1}{20}\times 180\\\frac{1}{40}\times 480-\frac{1}{30}\times 180\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=6$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Til að gera 40x og 30x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 30 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 40.

$$30\times 40x+30\times 60y=30\times 480,40\times 30x+40\times 15y=40\times 180$$

Einfaldaðu.

$$1200x+1800y=14400,1200x+600y=7200$$

Dragðu 1200x+600y=7200 frá 1200x+1800y=14400 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$1200x-1200x+1800y-600y=14400-7200$$

Leggðu 1200x saman við -1200x. Liðirnir 1200x og -1200x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$1800y-600y=14400-7200$$

Leggðu 1800y saman við -600y.

$$1200y=14400-7200$$

Leggðu 14400 saman við -7200.

$$1200y=7200$$

Deildu báðum hliðum með 1200.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í 30x+15y=180. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$30x+15\times 6=180$$

Margfaldaðu 15 sinnum 6.

$$30x+90=180$$

Dragðu 90 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$30x=90$$

Deildu báðum hliðum með 30.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=6$$