Leysa {c}{4x-y=4}{-12x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x - y = 4 } \\ { - 12 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$y=-9$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-y=4$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=y+4$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum y+4.

$$x=\frac{1}{4}y+1$$

Settu \frac{y}{4}+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -12x+2y=-3.

$$-12\left(\frac{1}{4}y+1\right)+2y=-3$$

Margfaldaðu -12 sinnum \frac{y}{4}+1.

$$-3y-12+2y=-3$$

Leggðu -3y saman við 2y.

$$-y-12=-3$$

Leggðu 12 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-y=9$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=-9$$

Skiptu -9 út fyrir y í x=\frac{1}{4}y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9\right)+1$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -9.

$$x=-\frac{9}{4}+1$$

Leggðu 1 saman við -\frac{9}{4}.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\\-\frac{-12}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-3\times 4-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\\-9\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

Til að gera 4x og -12x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -12 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$-12\times 4x-12\left(-1\right)y=-12\times 4,4\left(-12\right)x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

Einfaldaðu.

$$-48x+12y=-48,-48x+8y=-12$$

Dragðu -48x+8y=-12 frá -48x+12y=-48 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-48x+48x+12y-8y=-48+12$$

Leggðu -48x saman við 48x. Liðirnir -48x og 48x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y-8y=-48+12$$

Leggðu 12y saman við -8y.

$$4y=-48+12$$

Leggðu -48 saman við 12.

$$4y=-36$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=-9$$

Skiptu -9 út fyrir y í -12x+2y=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-12x+2\left(-9\right)=-3$$

Margfaldaðu 2 sinnum -9.

$$-12x-18=-3$$

Leggðu 18 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-12x=15$$

Deildu báðum hliðum með -12.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$