Leysa {c}{4x+3y=13}{x+3y=10}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 3 y = 13 } \\ { x + 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+3y=13,x+3y=10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+3y=13$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-3y+13$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -3y+13.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}$$

Settu \frac{-3y+13}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+3y=10.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}+3y=10$$

Leggðu -\frac{3y}{4} saman við 3y.

$$\frac{9}{4}y+\frac{13}{4}=10$$

Dragðu \frac{13}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{9}{4}y=\frac{27}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{9}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{4}\times 3+\frac{13}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{4} sinnum 3.

$$x=\frac{-9+13}{4}$$

Leggðu \frac{13}{4} saman við -\frac{9}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+3y=13,x+3y=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3}&-\frac{3}{4\times 3-3}\\-\frac{1}{4\times 3-3}&\frac{4}{4\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 13-\frac{1}{3}\times 10\\-\frac{1}{9}\times 13+\frac{4}{9}\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+3y=13,x+3y=10$$

Dragðu x+3y=10 frá 4x+3y=13 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4x-x+3y-3y=13-10$$

Leggðu 3y saman við -3y. Liðirnir 3y og -3y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4x-x=13-10$$

Leggðu 4x saman við -x.

$$3x=13-10$$

Leggðu 13 saman við -10.

$$3x=3$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=1$$

Skiptu 1 út fyrir x í x+3y=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$1+3y=10$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3y=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=3$$