Leysa {c}{4x+2y=50}{x+y=20}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 2 y = 50 } \\ { x + y = 20 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=15$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+2y=50,x+y=20$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+2y=50$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-2y+50$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+50\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -2y+50.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}$$

Settu \frac{-y+25}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=20.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}+y=20$$

Leggðu -\frac{y}{2} saman við y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}=20$$

Dragðu \frac{25}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{2}y=\frac{15}{2}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$y=15$$

Skiptu 15 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times 15+\frac{25}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum 15.

$$x=\frac{-15+25}{2}$$

Leggðu \frac{25}{2} saman við -\frac{15}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=15$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+2y=50,x+y=20$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 50-20\\-\frac{1}{2}\times 50+2\times 20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=15$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+2y=50,x+y=20$$

Til að gera 4x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$4x+2y=50,4x+4y=4\times 20$$

Einfaldaðu.

$$4x+2y=50,4x+4y=80$$

Dragðu 4x+4y=80 frá 4x+2y=50 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4x-4x+2y-4y=50-80$$

Leggðu 4x saman við -4x. Liðirnir 4x og -4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y-4y=50-80$$

Leggðu 2y saman við -4y.

$$-2y=50-80$$

Leggðu 50 saman við -80.

$$-2y=-30$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=15$$

Skiptu 15 út fyrir y í x+y=20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+15=20$$

Dragðu 15 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=15$$