Leysa {c}{3.90x+y=359.70}{-1.80x-y=-131}

$$\left. \begin{array} { c } { 3.90 x + y = 359.70 } \\ { - 1.80 x - y = - 131 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{2287}{21} = 108\frac{19}{21} \approx 108.904761905$$

$$y = -\frac{2276}{35} = -65\frac{1}{35} \approx -65.028571429$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3.9x+y=359.7$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3.9x=-y+359.7$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 3.9. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{10}{39}\left(-y+359.7\right)$$

Margfaldaðu \frac{10}{39} sinnum -y+359.7.

$$x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}$$

Settu -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -1.8x-y=-131.

$$-1.8\left(-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}\right)-y=-131$$

Margfaldaðu -1.8 sinnum -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13}.

$$\frac{6}{13}y-\frac{10791}{65}-y=-131$$

Leggðu \frac{6y}{13} saman við -y.

$$-\frac{7}{13}y-\frac{10791}{65}=-131$$

Leggðu \frac{10791}{65} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{7}{13}y=\frac{2276}{65}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{7}{13}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

Skiptu -\frac{2276}{35} út fyrir y í x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{10}{39}\left(-\frac{2276}{35}\right)+\frac{1199}{13}$$

Margfaldaðu -\frac{10}{39} sinnum -\frac{2276}{35} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{4552}{273}+\frac{1199}{13}$$

Leggðu \frac{1199}{13} saman við \frac{4552}{273} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{2287}{21}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\\-\frac{-1.8}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&\frac{3.9}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}&\frac{10}{21}\\-\frac{6}{7}&-\frac{13}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}\times 359.7+\frac{10}{21}\left(-131\right)\\-\frac{6}{7}\times 359.7-\frac{13}{7}\left(-131\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2287}{21}\\-\frac{2276}{35}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

Til að gera \frac{39x}{10} og -\frac{9x}{5} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1.8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.9.

$$-1.8\times 3.9x-1.8y=-1.8\times 359.7,3.9\left(-1.8\right)x+3.9\left(-1\right)y=3.9\left(-131\right)$$

Einfaldaðu.

$$-7.02x-1.8y=-647.46,-7.02x-3.9y=-510.9$$

Dragðu -7.02x-3.9y=-510.9 frá -7.02x-1.8y=-647.46 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-7.02x+7.02x-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

Leggðu -\frac{351x}{50} saman við \frac{351x}{50}. Liðirnir -\frac{351x}{50} og \frac{351x}{50} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

Leggðu -\frac{9y}{5} saman við \frac{39y}{10}.

$$2.1y=-647.46+510.9$$

Leggðu -647.46 saman við 510.9 með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$2.1y=-136.56$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 2.1. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

Skiptu -\frac{2276}{35} út fyrir y í -1.8x-y=-131. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-1.8x-\left(-\frac{2276}{35}\right)=-131$$

Dragðu \frac{2276}{35} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-1.8x=-\frac{6861}{35}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -1.8. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{2287}{21}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$