Leysa {c}{3x+y=5}{-2x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 5 } \\ { - 2 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$y = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+y=5$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-y+5$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Settu \frac{-y+5}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x+2y=7.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y=7$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{-y+5}{3}.

$$\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}+2y=7$$

Leggðu \frac{2y}{3} saman við 2y.

$$\frac{8}{3}y-\frac{10}{3}=7$$

Leggðu \frac{10}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{8}{3}y=\frac{31}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{8}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{31}{8}$$

Skiptu \frac{31}{8} út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{31}{8}+\frac{5}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum \frac{31}{8} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{31}{24}+\frac{5}{3}$$

Leggðu \frac{5}{3} saman við -\frac{31}{24} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{3}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{8}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\\\frac{31}{8}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Til að gera 3x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$-2\times 3x-2y=-2\times 5,3\left(-2\right)x+3\times 2y=3\times 7$$

Einfaldaðu.

$$-6x-2y=-10,-6x+6y=21$$

Dragðu -6x+6y=21 frá -6x-2y=-10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-6x+6x-2y-6y=-10-21$$

Leggðu -6x saman við 6x. Liðirnir -6x og 6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y-6y=-10-21$$

Leggðu -2y saman við -6y.

$$-8y=-10-21$$

Leggðu -10 saman við -21.

$$-8y=-31$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$y=\frac{31}{8}$$

Skiptu \frac{31}{8} út fyrir y í -2x+2y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x+2\times \frac{31}{8}=7$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{31}{8}.

$$-2x+\frac{31}{4}=7$$

Dragðu \frac{31}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=-\frac{3}{4}$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=\frac{3}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$