Leysa {c}{3x+y+5=0}{-2x-y+1=0}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y + 5 = 0 } \\ { - 2 x - y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-6$$

$$y=13$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+y+5=0$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x+y=-5$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-y-5$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -y-5.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}$$

Settu \frac{-y-5}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x-y+1=0.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}\right)-y+1=0$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{-y-5}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y+1=0$$

Leggðu \frac{2y}{3} saman við -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}+1=0$$

Leggðu \frac{10}{3} saman við 1.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}=0$$

Dragðu \frac{13}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{13}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -3.

$$y=13$$

Skiptu 13 út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\times 13-\frac{5}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum 13.

$$x=\frac{-13-5}{3}$$

Leggðu -\frac{5}{3} saman við -\frac{13}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-6,y=13$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-1\\-2\left(-5\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\13\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-6,y=13$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

Til að gera 3x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$-2\times 3x-2y-2\times 5=0,3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y+3=0$$

Einfaldaðu.

$$-6x-2y-10=0,-6x-3y+3=0$$

Dragðu -6x-3y+3=0 frá -6x-2y-10=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-6x+6x-2y+3y-10-3=0$$

Leggðu -6x saman við 6x. Liðirnir -6x og 6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y+3y-10-3=0$$

Leggðu -2y saman við 3y.

$$y-10-3=0$$

Leggðu -10 saman við -3.

$$y-13=0$$

Leggðu 13 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=13$$

Skiptu 13 út fyrir y í -2x-y+1=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x-13+1=0$$

Leggðu -13 saman við 1.

$$-2x-12=0$$

Leggðu 12 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2x=12$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-6,y=13$$