Leysa {c}{3x+4y=12}{x+6y=-16}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 4 y = 12 } \\ { x + 6 y = - 16 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{68}{7} = 9\frac{5}{7} \approx 9.714285714$$

$$y = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+4y=12$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-4y+12$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+12\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -4y+12.

$$x=-\frac{4}{3}y+4$$

Settu -\frac{4y}{3}+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+6y=-16.

$$-\frac{4}{3}y+4+6y=-16$$

Leggðu -\frac{4y}{3} saman við 6y.

$$\frac{14}{3}y+4=-16$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{14}{3}y=-20$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{14}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{30}{7}$$

Skiptu -\frac{30}{7} út fyrir y í x=-\frac{4}{3}y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)+4$$

Margfaldaðu -\frac{4}{3} sinnum -\frac{30}{7} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{40}{7}+4$$

Leggðu 4 saman við \frac{40}{7}.

$$x=\frac{68}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-4}&-\frac{4}{3\times 6-4}\\-\frac{1}{3\times 6-4}&\frac{3}{3\times 6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 12-\frac{2}{7}\left(-16\right)\\-\frac{1}{14}\times 12+\frac{3}{14}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{68}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

Til að gera 3x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$3x+4y=12,3x+3\times 6y=3\left(-16\right)$$

Einfaldaðu.

$$3x+4y=12,3x+18y=-48$$

Dragðu 3x+18y=-48 frá 3x+4y=12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+4y-18y=12+48$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y-18y=12+48$$

Leggðu 4y saman við -18y.

$$-14y=12+48$$

Leggðu 12 saman við 48.

$$-14y=60$$

Deildu báðum hliðum með -14.

$$y=-\frac{30}{7}$$

Skiptu -\frac{30}{7} út fyrir y í x+6y=-16. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+6\left(-\frac{30}{7}\right)=-16$$

Margfaldaðu 6 sinnum -\frac{30}{7}.

$$x-\frac{180}{7}=-16$$

Leggðu \frac{180}{7} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{68}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$