Leysa {c}{3x+2y=32}{365x+226y=267.6}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { 365 x + 226 y = 267.6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{8371}{65} = -128\frac{51}{65} \approx -128.784615385$$

$$y = \frac{27193}{130} = 209\frac{23}{130} \approx 209.176923077$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+2y=32$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-2y+32$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2y+32.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

Settu \frac{-2y+32}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 365x+226y=267.6.

$$365\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+226y=267.6$$

Margfaldaðu 365 sinnum \frac{-2y+32}{3}.

$$-\frac{730}{3}y+\frac{11680}{3}+226y=267.6$$

Leggðu -\frac{730y}{3} saman við 226y.

$$-\frac{52}{3}y+\frac{11680}{3}=267.6$$

Dragðu \frac{11680}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{52}{3}y=-\frac{54386}{15}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{52}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{27193}{130}$$

Skiptu \frac{27193}{130} út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{27193}{130}+\frac{32}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum \frac{27193}{130} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{27193}{195}+\frac{32}{3}$$

Leggðu \frac{32}{3} saman við -\frac{27193}{195} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{8371}{65}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{226}{3\times 226-2\times 365}&-\frac{2}{3\times 226-2\times 365}\\-\frac{365}{3\times 226-2\times 365}&\frac{3}{3\times 226-2\times 365}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{365}{52}&-\frac{3}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}\times 32+\frac{1}{26}\times 267.6\\\frac{365}{52}\times 32-\frac{3}{52}\times 267.6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8371}{65}\\\frac{27193}{130}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

Til að gera 3x og 365x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 365 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$365\times 3x+365\times 2y=365\times 32,3\times 365x+3\times 226y=3\times 267.6$$

Einfaldaðu.

$$1095x+730y=11680,1095x+678y=802.8$$

Dragðu 1095x+678y=802.8 frá 1095x+730y=11680 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$1095x-1095x+730y-678y=11680-802.8$$

Leggðu 1095x saman við -1095x. Liðirnir 1095x og -1095x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$730y-678y=11680-802.8$$

Leggðu 730y saman við -678y.

$$52y=11680-802.8$$

Leggðu 11680 saman við -802.8.

$$52y=10877.2$$

Deildu báðum hliðum með 52.

$$y=\frac{27193}{130}$$

Skiptu \frac{27193}{130} út fyrir y í 365x+226y=267.6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$365x+226\times \frac{27193}{130}=267.6$$

Margfaldaðu 226 sinnum \frac{27193}{130}.

$$365x+\frac{3072809}{65}=267.6$$

Dragðu \frac{3072809}{65} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$365x=-\frac{611083}{13}$$

Deildu báðum hliðum með 365.

$$x=-\frac{8371}{65}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$