Leysa {c}{20x+3y=0}{x+2y=1}

$$\left. \begin{array} { c } { 20 x + 3 y = 0 } \\ { x + 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{3}{37}\approx -0.081081081$$

$$y=\frac{20}{37}\approx 0.540540541$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$20x+3y=0,x+2y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$20x+3y=0$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$20x=-3y$$

Deildu báðum hliðum með 20.

$$x=\frac{1}{20}\left(-3\right)y$$

Margfaldaðu \frac{1}{20} sinnum -3y.

$$x=-\frac{3}{20}y$$

Settu -\frac{3y}{20} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+2y=1.

$$-\frac{3}{20}y+2y=1$$

Leggðu -\frac{3y}{20} saman við 2y.

$$\frac{37}{20}y=1$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{37}{20}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{20}{37}$$

Skiptu \frac{20}{37} út fyrir y í x=-\frac{3}{20}y. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{20}\times \frac{20}{37}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{20} sinnum \frac{20}{37} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{3}{37}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{3}{37},y=\frac{20}{37}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$20x+3y=0,x+2y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}20&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}20&3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{20\times 2-3}&-\frac{3}{20\times 2-3}\\-\frac{1}{20\times 2-3}&\frac{20}{20\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}&-\frac{3}{37}\\-\frac{1}{37}&\frac{20}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{37}\\\frac{20}{37}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{3}{37},y=\frac{20}{37}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$20x+3y=0,x+2y=1$$

Til að gera 20x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 20.

$$20x+3y=0,20x+20\times 2y=20$$

Einfaldaðu.

$$20x+3y=0,20x+40y=20$$

Dragðu 20x+40y=20 frá 20x+3y=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$20x-20x+3y-40y=-20$$

Leggðu 20x saman við -20x. Liðirnir 20x og -20x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y-40y=-20$$

Leggðu 3y saman við -40y.

$$-37y=-20$$

Deildu báðum hliðum með -37.

$$y=\frac{20}{37}$$

Skiptu \frac{20}{37} út fyrir y í x+2y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+2\times \frac{20}{37}=1$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{20}{37}.

$$x+\frac{40}{37}=1$$

Dragðu \frac{40}{37} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-\frac{3}{37}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{3}{37},y=\frac{20}{37}$$