Leysa {c}{2.7x+3.1y=42.5}{x+y=15}

$$\left. \begin{array} { c } { 2.7 x + 3.1 y = 42.5 } \\ { x + y = 15 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=10$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2.7x+3.1y=42.5$$

Dragðu \frac{31y}{10} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2.7x=-3.1y+42.5$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 2.7. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{10}{27}\left(-3.1y+42.5\right)$$

Margfaldaðu \frac{10}{27} sinnum -\frac{31y}{10}+42.5.

$$x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}$$

Settu \frac{-31y+425}{27} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=15.

$$-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}+y=15$$

Leggðu -\frac{31y}{27} saman við y.

$$-\frac{4}{27}y+\frac{425}{27}=15$$

Dragðu \frac{425}{27} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{4}{27}y=-\frac{20}{27}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{4}{27}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{31}{27}\times 5+\frac{425}{27}$$

Margfaldaðu -\frac{31}{27} sinnum 5.

$$x=\frac{-155+425}{27}$$

Leggðu \frac{425}{27} saman við -\frac{155}{27} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2.7-3.1}&-\frac{3.1}{2.7-3.1}\\-\frac{1}{2.7-3.1}&\frac{2.7}{2.7-3.1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5&7.75\\2.5&-6.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5\times 42.5+7.75\times 15\\2.5\times 42.5-6.75\times 15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=10,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

Til að gera \frac{27x}{10} og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.7.

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=2.7\times 15$$

Einfaldaðu.

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=40.5$$

Dragðu 2.7x+2.7y=40.5 frá 2.7x+3.1y=42.5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2.7x-2.7x+3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

Leggðu \frac{27x}{10} saman við -\frac{27x}{10}. Liðirnir \frac{27x}{10} og -\frac{27x}{10} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

Leggðu \frac{31y}{10} saman við -\frac{27y}{10}.

$$0.4y=\frac{85-81}{2}$$

Leggðu 42.5 saman við -40.5 með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$0.4y=2$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.4. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x+y=15. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+5=15$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=5$$