Leysa {c}{2x-y=10}{x+y=5}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x - y = 10 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=0$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-y=10,x+y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-y=10$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=y+10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum y+10.

$$x=\frac{1}{2}y+5$$

Settu \frac{y}{2}+5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=5.

$$\frac{1}{2}y+5+y=5$$

Leggðu \frac{y}{2} saman við y.

$$\frac{3}{2}y+5=5$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{3}{2}y=0$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{3}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x=\frac{1}{2}y+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=0$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-y=10,x+y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 10+\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{3}\times 10+\frac{2}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=0$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-y=10,x+y=5$$

Til að gera 2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2x-y=10,2x+2y=2\times 5$$

Einfaldaðu.

$$2x-y=10,2x+2y=10$$

Dragðu 2x+2y=10 frá 2x-y=10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x-y-2y=10-10$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-y-2y=10-10$$

Leggðu -y saman við -2y.

$$-3y=10-10$$

Leggðu 10 saman við -10.

$$-3y=0$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x+y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=0$$