Leysa {c}{2x+y=5}{-4x+6y=12}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + y = 5 } \\ { - 4 x + 6 y = 12 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} = 1.125$$

$$y = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+y=5$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-y+5$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y+5.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Settu \frac{-y+5}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -4x+6y=12.

$$-4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=12$$

Margfaldaðu -4 sinnum \frac{-y+5}{2}.

$$2y-10+6y=12$$

Leggðu 2y saman við 6y.

$$8y-10=12$$

Leggðu 10 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$8y=22$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$y=\frac{11}{4}$$

Skiptu \frac{11}{4} út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{11}{4}+\frac{5}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum \frac{11}{4} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{11}{8}+\frac{5}{2}$$

Leggðu \frac{5}{2} saman við -\frac{11}{8} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{9}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2\times 6-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 6-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 6-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{16}\times 12\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\times 12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8}\\\frac{11}{4}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

Til að gera 2x og -4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-4\times 2x-4y=-4\times 5,2\left(-4\right)x+2\times 6y=2\times 12$$

Einfaldaðu.

$$-8x-4y=-20,-8x+12y=24$$

Dragðu -8x+12y=24 frá -8x-4y=-20 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-8x+8x-4y-12y=-20-24$$

Leggðu -8x saman við 8x. Liðirnir -8x og 8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y-12y=-20-24$$

Leggðu -4y saman við -12y.

$$-16y=-20-24$$

Leggðu -20 saman við -24.

$$-16y=-44$$

Deildu báðum hliðum með -16.

$$y=\frac{11}{4}$$

Skiptu \frac{11}{4} út fyrir y í -4x+6y=12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-4x+6\times \frac{11}{4}=12$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{11}{4}.

$$-4x+\frac{33}{2}=12$$

Dragðu \frac{33}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4x=-\frac{9}{2}$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=\frac{9}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$