Leysa {c}{2x+y=3}{-2x-4y=-1}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + y = 3 } \\ { - 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{11}{6} = 1\frac{5}{6} \approx 1.833333333$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+y=3,-2x-4y=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+y=3$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-y+3$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Settu \frac{-y+3}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x-4y=-1.

$$-2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)-4y=-1$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{-y+3}{2}.

$$y-3-4y=-1$$

Leggðu y saman við -4y.

$$-3y-3=-1$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-3y=2$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Skiptu -\frac{2}{3} út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{3}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -\frac{2}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{1}{3}+\frac{3}{2}$$

Leggðu \frac{3}{2} saman við \frac{1}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{11}{6}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{11}{6},y=-\frac{2}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+y=3,-2x-4y=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{6}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{11}{6},y=-\frac{2}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+y=3,-2x-4y=-1$$

Til að gera 2x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-2\times 2x-2y=-2\times 3,2\left(-2\right)x+2\left(-4\right)y=2\left(-1\right)$$

Einfaldaðu.

$$-4x-2y=-6,-4x-8y=-2$$

Dragðu -4x-8y=-2 frá -4x-2y=-6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-4x+4x-2y+8y=-6+2$$

Leggðu -4x saman við 4x. Liðirnir -4x og 4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y+8y=-6+2$$

Leggðu -2y saman við 8y.

$$6y=-6+2$$

Leggðu -6 saman við 2.

$$6y=-4$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Skiptu -\frac{2}{3} út fyrir y í -2x-4y=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x-4\left(-\frac{2}{3}\right)=-1$$

Margfaldaðu -4 sinnum -\frac{2}{3}.

$$-2x+\frac{8}{3}=-1$$

Dragðu \frac{8}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=-\frac{11}{3}$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=\frac{11}{6}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{11}{6},y=-\frac{2}{3}$$