Leysa {c}{2x+9y=-7}{6x-3y=9}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 9 y = - 7 } \\ { 6 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+9y=-7$$

Dragðu 9y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-9y-7$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y-7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -9y-7.

$$x=-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2}$$

Settu \frac{-9y-7}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x-3y=9.

$$6\left(-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2}\right)-3y=9$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{-9y-7}{2}.

$$-27y-21-3y=9$$

Leggðu -27y saman við -3y.

$$-30y-21=9$$

Leggðu 21 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-30y=30$$

Deildu báðum hliðum með -30.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{9}{2}\left(-1\right)-\frac{7}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{9}{2} sinnum -1.

$$x=\frac{9-7}{2}$$

Leggðu -\frac{7}{2} saman við \frac{9}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-9\times 6}&-\frac{9}{2\left(-3\right)-9\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-9\times 6}&\frac{2}{2\left(-3\right)-9\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\left(-7\right)+\frac{3}{20}\times 9\\\frac{1}{10}\left(-7\right)-\frac{1}{30}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

Til að gera 2x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$6\times 2x+6\times 9y=6\left(-7\right),2\times 6x+2\left(-3\right)y=2\times 9$$

Einfaldaðu.

$$12x+54y=-42,12x-6y=18$$

Dragðu 12x-6y=18 frá 12x+54y=-42 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x+54y+6y=-42-18$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$54y+6y=-42-18$$

Leggðu 54y saman við 6y.

$$60y=-42-18$$

Leggðu -42 saman við -18.

$$60y=-60$$

Deildu báðum hliðum með 60.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í 6x-3y=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x-3\left(-1\right)=9$$

Margfaldaðu -3 sinnum -1.

$$6x+3=9$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=6$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-1$$