Leysa {c}{2x+7y=77}{x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 7 y = 77 } \\ { x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{168}{11} = 15\frac{3}{11} \approx 15.272727273$$

$$y = \frac{73}{11} = 6\frac{7}{11} \approx 6.636363636$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+7y=77$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-7y+77$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+77\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -7y+77.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}$$

Settu \frac{-7y+77}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-2y=2.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}-2y=2$$

Leggðu -\frac{7y}{2} saman við -2y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{77}{2}=2$$

Dragðu \frac{77}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{73}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{11}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{73}{11}$$

Skiptu \frac{73}{11} út fyrir y í x=-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{73}{11}+\frac{77}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{7}{2} sinnum \frac{73}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{511}{22}+\frac{77}{2}$$

Leggðu \frac{77}{2} saman við -\frac{511}{22} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{168}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-7}&-\frac{7}{2\left(-2\right)-7}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-7}&\frac{2}{2\left(-2\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 77+\frac{7}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 77-\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{168}{11}\\\frac{73}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

Til að gera 2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2x+7y=77,2x+2\left(-2\right)y=2\times 2$$

Einfaldaðu.

$$2x+7y=77,2x-4y=4$$

Dragðu 2x-4y=4 frá 2x+7y=77 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+7y+4y=77-4$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$7y+4y=77-4$$

Leggðu 7y saman við 4y.

$$11y=77-4$$

Leggðu 77 saman við -4.

$$11y=73$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$y=\frac{73}{11}$$

Skiptu \frac{73}{11} út fyrir y í x-2y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-2\times \frac{73}{11}=2$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{73}{11}.

$$x-\frac{146}{11}=2$$

Leggðu \frac{146}{11} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{168}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$