Leysa {c}{2x+6y=7}{x-y=4}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 6 y = 7 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

$$y=-\frac{1}{8}=-0.125$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+6y=7,x-y=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+6y=7$$

Dragðu 6y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-6y+7$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-6y+7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -6y+7.

$$x=-3y+\frac{7}{2}$$

Settu -3y+\frac{7}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-y=4.

$$-3y+\frac{7}{2}-y=4$$

Leggðu -3y saman við -y.

$$-4y+\frac{7}{2}=4$$

Dragðu \frac{7}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4y=\frac{1}{2}$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=-\frac{1}{8}$$

Skiptu -\frac{1}{8} út fyrir y í x=-3y+\frac{7}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-3\left(-\frac{1}{8}\right)+\frac{7}{2}$$

Margfaldaðu -3 sinnum -\frac{1}{8}.

$$x=\frac{3}{8}+\frac{7}{2}$$

Leggðu \frac{7}{2} saman við \frac{3}{8} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{31}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+6y=7,x-y=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&-\frac{6}{2\left(-1\right)-6}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&\frac{2}{2\left(-1\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{4}\times 4\\\frac{1}{8}\times 7-\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{8}\\-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+6y=7,x-y=4$$

Til að gera 2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2x+6y=7,2x+2\left(-1\right)y=2\times 4$$

Einfaldaðu.

$$2x+6y=7,2x-2y=8$$

Dragðu 2x-2y=8 frá 2x+6y=7 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+6y+2y=7-8$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y+2y=7-8$$

Leggðu 6y saman við 2y.

$$8y=7-8$$

Leggðu 7 saman við -8.

$$8y=-1$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$y=-\frac{1}{8}$$

Skiptu -\frac{1}{8} út fyrir y í x-y=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-\left(-\frac{1}{8}\right)=4$$

Dragðu \frac{1}{8} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{31}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$