Leysa {c}{2x+3y-10=0}{4x=3y+20}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y - 10 = 0 } \\ { 4 x = 3 y + 20 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=0$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 10 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$2x+3y=10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$4x-3y=20$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=10$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Settu -\frac{3y}{2}+5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x-3y=20.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)-3y=20$$

Margfaldaðu 4 sinnum -\frac{3y}{2}+5.

$$-6y+20-3y=20$$

Leggðu -6y saman við -3y.

$$-9y+20=20$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-9y=0$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=0$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 10 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$2x+3y=10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$4x-3y=20$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10+\frac{1}{6}\times 20\\\frac{2}{9}\times 10-\frac{1}{9}\times 20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=0$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 10 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$2x+3y=10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$4x-3y=20$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

Til að gera 2x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\left(-3\right)y=2\times 20$$

Einfaldaðu.

$$8x+12y=40,8x-6y=40$$

Dragðu 8x-6y=40 frá 8x+12y=40 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x+12y+6y=40-40$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y+6y=40-40$$

Leggðu 12y saman við 6y.

$$18y=40-40$$

Leggðu 40 saman við -40.

$$18y=0$$

Deildu báðum hliðum með 18.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í 4x-3y=20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x=20$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=0$$