Leysa {c}{2x+3y=475000}{x+2y=275000}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 475000 } \\ { x + 2 y = 275000 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=125000$$

$$y=75000$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=475000,x+2y=275000$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=475000$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+475000$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+475000\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+475000.

$$x=-\frac{3}{2}y+237500$$

Settu -\frac{3y}{2}+237500 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+2y=275000.

$$-\frac{3}{2}y+237500+2y=275000$$

Leggðu -\frac{3y}{2} saman við 2y.

$$\frac{1}{2}y+237500=275000$$

Dragðu 237500 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{2}y=37500$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$y=75000$$

Skiptu 75000 út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+237500. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times 75000+237500$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum 75000.

$$x=-112500+237500$$

Leggðu 237500 saman við -112500.

$$x=125000$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=125000,y=75000$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=475000,x+2y=275000$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}475000\\275000\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}475000\\275000\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}475000\\275000\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}475000\\275000\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}475000\\275000\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}475000\\275000\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 475000-3\times 275000\\-475000+2\times 275000\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}125000\\75000\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=125000,y=75000$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=475000,x+2y=275000$$

Til að gera 2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2x+3y=475000,2x+2\times 2y=2\times 275000$$

Einfaldaðu.

$$2x+3y=475000,2x+4y=550000$$

Dragðu 2x+4y=550000 frá 2x+3y=475000 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+3y-4y=475000-550000$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y-4y=475000-550000$$

Leggðu 3y saman við -4y.

$$-y=475000-550000$$

Leggðu 475000 saman við -550000.

$$-y=-75000$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=75000$$

Skiptu 75000 út fyrir y í x+2y=275000. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+2\times 75000=275000$$

Margfaldaðu 2 sinnum 75000.

$$x+150000=275000$$

Dragðu 150000 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=125000$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=125000,y=75000$$