Leysa {c}{2x+3y=-10}{x+4y=5}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = - 10 } \\ { x + 4 y = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-11$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=-10,x+4y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=-10$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y-10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y-10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y-10.

$$x=-\frac{3}{2}y-5$$

Settu -\frac{3y}{2}-5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+4y=5.

$$-\frac{3}{2}y-5+4y=5$$

Leggðu -\frac{3y}{2} saman við 4y.

$$\frac{5}{2}y-5=5$$

Leggðu 5 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{5}{2}y=10$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times 4-5$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum 4.

$$x=-6-5$$

Leggðu -5 saman við -6.

$$x=-11$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-11,y=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=-10,x+4y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3}&-\frac{3}{2\times 4-3}\\-\frac{1}{2\times 4-3}&\frac{2}{2\times 4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\left(-10\right)-\frac{3}{5}\times 5\\-\frac{1}{5}\left(-10\right)+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-11,y=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=-10,x+4y=5$$

Til að gera 2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2x+3y=-10,2x+2\times 4y=2\times 5$$

Einfaldaðu.

$$2x+3y=-10,2x+8y=10$$

Dragðu 2x+8y=10 frá 2x+3y=-10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+3y-8y=-10-10$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y-8y=-10-10$$

Leggðu 3y saman við -8y.

$$-5y=-10-10$$

Leggðu -10 saman við -10.

$$-5y=-20$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x+4y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+4\times 4=5$$

Margfaldaðu 4 sinnum 4.

$$x+16=5$$

Dragðu 16 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-11$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-11,y=4$$