Leysa {c}{2x+2y=4}{-2x+3y=-9}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 2 y = 4 } \\ { - 2 x + 3 y = - 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+2y=4$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-2y+4$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -2y+4.

$$x=-y+2$$

Settu -y+2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x+3y=-9.

$$-2\left(-y+2\right)+3y=-9$$

Margfaldaðu -2 sinnum -y+2.

$$2y-4+3y=-9$$

Leggðu 2y saman við 3y.

$$5y-4=-9$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5y=-5$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=-y+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\left(-1\right)+2$$

Margfaldaðu -1 sinnum -1.

$$x=1+2$$

Leggðu 2 saman við 1.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{2\times 3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-2\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 4-\frac{1}{5}\left(-9\right)\\\frac{1}{5}\times 4+\frac{1}{5}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+2y=4,-2x+3y=-9$$

Til að gera 2x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-2\times 2x-2\times 2y=-2\times 4,2\left(-2\right)x+2\times 3y=2\left(-9\right)$$

Einfaldaðu.

$$-4x-4y=-8,-4x+6y=-18$$

Dragðu -4x+6y=-18 frá -4x-4y=-8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-4x+4x-4y-6y=-8+18$$

Leggðu -4x saman við 4x. Liðirnir -4x og 4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y-6y=-8+18$$

Leggðu -4y saman við -6y.

$$-10y=-8+18$$

Leggðu -8 saman við 18.

$$-10y=10$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í -2x+3y=-9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x+3\left(-1\right)=-9$$

Margfaldaðu 3 sinnum -1.

$$-2x-3=-9$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2x=-6$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-1$$