Leysa {c}{10x+14y=460}{x+y=40}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 x + 14 y = 460 } \\ { x + y = 40 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=25$$

$$y=15$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$10x+14y=460$$

Dragðu 14y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$10x=-14y+460$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-14y+460\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{10} sinnum -14y+460.

$$x=-\frac{7}{5}y+46$$

Settu -\frac{7y}{5}+46 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=40.

$$-\frac{7}{5}y+46+y=40$$

Leggðu -\frac{7y}{5} saman við y.

$$-\frac{2}{5}y+46=40$$

Dragðu 46 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{2}{5}y=-6$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{2}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=15$$

Skiptu 15 út fyrir y í x=-\frac{7}{5}y+46. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{7}{5}\times 15+46$$

Margfaldaðu -\frac{7}{5} sinnum 15.

$$x=-21+46$$

Leggðu 46 saman við -21.

$$x=25$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=25,y=15$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-14}&-\frac{14}{10-14}\\-\frac{1}{10-14}&\frac{10}{10-14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 460+\frac{7}{2}\times 40\\\frac{1}{4}\times 460-\frac{5}{2}\times 40\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=25,y=15$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

Til að gera 10x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 10.

$$10x+14y=460,10x+10y=10\times 40$$

Einfaldaðu.

$$10x+14y=460,10x+10y=400$$

Dragðu 10x+10y=400 frá 10x+14y=460 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x+14y-10y=460-400$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$14y-10y=460-400$$

Leggðu 14y saman við -10y.

$$4y=460-400$$

Leggðu 460 saman við -400.

$$4y=60$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=15$$

Skiptu 15 út fyrir y í x+y=40. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+15=40$$

Dragðu 15 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=25$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=25,y=15$$