Leysa {c}{10a+b=10}{-a+b=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 a + b = 10 } \\ { - a + b = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=\frac{8}{11}\approx 0.727272727$$

$$b = \frac{30}{11} = 2\frac{8}{11} \approx 2.727272727$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$10a+b=10$$

Dragðu b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$10a=-b+10$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$a=\frac{1}{10}\left(-b+10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{10} sinnum -b+10.

$$a=-\frac{1}{10}b+1$$

Settu -\frac{b}{10}+1 inn fyrir a í hinni jöfnunni, -a+b=2.

$$-\left(-\frac{1}{10}b+1\right)+b=2$$

Margfaldaðu -1 sinnum -\frac{b}{10}+1.

$$\frac{1}{10}b-1+b=2$$

Leggðu \frac{b}{10} saman við b.

$$\frac{11}{10}b-1=2$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{11}{10}b=3$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{11}{10}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$b=\frac{30}{11}$$

Skiptu \frac{30}{11} út fyrir b í a=-\frac{1}{10}b+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-\frac{1}{10}\times \frac{30}{11}+1$$

Margfaldaðu -\frac{1}{10} sinnum \frac{30}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$a=-\frac{3}{11}+1$$

Leggðu 1 saman við -\frac{3}{11}.

$$a=\frac{8}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-\left(-1\right)}&-\frac{1}{10-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{10-\left(-1\right)}&\frac{10}{10-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{10}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{1}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 10+\frac{10}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{11}\\\frac{30}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

Dragðu -a+b=2 frá 10a+b=10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10a+a+b-b=10-2$$

Leggðu b saman við -b. Liðirnir b og -b núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$10a+a=10-2$$

Leggðu 10a saman við a.

$$11a=10-2$$

Leggðu 10 saman við -2.

$$11a=8$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$a=\frac{8}{11}$$

Skiptu \frac{8}{11} út fyrir a í -a+b=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst b strax.

$$-\frac{8}{11}+b=2$$

Leggðu \frac{8}{11} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$b=\frac{30}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$