Leysa {c}{0.1x+.14y=11,800}{x+y=100,000}

$$\left. \begin{array} { c } { 0.1 x + .14 y = 11,800 } \\ { x + y = 100,000 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=55000$$

$$y=45000$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$0.1x+0.14y=11800,x+y=100000$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$0.1x+0.14y=11800$$

Dragðu \frac{7y}{50} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.1x=-0.14y+11800$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 10.

$$x=10\left(-0.14y+11800\right)$$

Margfaldaðu 10 sinnum -\frac{7y}{50}+11800.

$$x=-1.4y+118000$$

Settu -\frac{7y}{5}+118000 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=100000.

$$-1.4y+118000+y=100000$$

Leggðu -\frac{7y}{5} saman við y.

$$-0.4y+118000=100000$$

Dragðu 118000 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-0.4y=-18000$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -0.4. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=45000$$

Skiptu 45000 út fyrir y í x=-1.4y+118000. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-1.4\times 45000+118000$$

Margfaldaðu -1.4 sinnum 45000.

$$x=-63000+118000$$

Leggðu 118000 saman við -63000.

$$x=55000$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=55000,y=45000$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$0.1x+0.14y=11800,x+y=100000$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}0.1&0.14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11800\\100000\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}0.1&0.14\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.1&0.14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.1&0.14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.1&0.14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11800\\100000\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.1&0.14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11800\\100000\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.1&0.14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11800\\100000\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.1-0.14}&-\frac{0.14}{0.1-0.14}\\-\frac{1}{0.1-0.14}&\frac{0.1}{0.1-0.14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11800\\100000\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25&3.5\\25&-2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11800\\100000\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\times 11800+3.5\times 100000\\25\times 11800-2.5\times 100000\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55000\\45000\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=55000,y=45000$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$0.1x+0.14y=11800,x+y=100000$$

Til að gera \frac{x}{10} og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 0.1.

$$0.1x+0.14y=11800,0.1x+0.1y=0.1\times 100000$$

Einfaldaðu.

$$0.1x+0.14y=11800,0.1x+0.1y=10000$$

Dragðu 0.1x+0.1y=10000 frá 0.1x+0.14y=11800 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$0.1x-0.1x+0.14y-0.1y=11800-10000$$

Leggðu \frac{x}{10} saman við -\frac{x}{10}. Liðirnir \frac{x}{10} og -\frac{x}{10} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$0.14y-0.1y=11800-10000$$

Leggðu \frac{7y}{50} saman við -\frac{y}{10}.

$$0.04y=11800-10000$$

Leggðu 11800 saman við -10000.

$$0.04y=1800$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 25.

$$y=45000$$

Skiptu 45000 út fyrir y í x+y=100000. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+45000=100000$$

Dragðu 45000 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=55000$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=55000,y=45000$$