Leysa {c}{-9x+6y=3}{7x-2y=-13}

$$\left. \begin{array} { c } { - 9 x + 6 y = 3 } \\ { 7 x - 2 y = - 13 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-3$$

$$y=-4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-9x+6y=3,7x-2y=-13$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-9x+6y=3$$

Dragðu 6y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-9x=-6y+3$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6y+3\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{9} sinnum -6y+3.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}$$

Settu \frac{2y-1}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x-2y=-13.

$$7\left(\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}\right)-2y=-13$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{2y-1}{3}.

$$\frac{14}{3}y-\frac{7}{3}-2y=-13$$

Leggðu \frac{14y}{3} saman við -2y.

$$\frac{8}{3}y-\frac{7}{3}=-13$$

Leggðu \frac{7}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{8}{3}y=-\frac{32}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{8}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í x=\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{3}\left(-4\right)-\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum -4.

$$x=\frac{-8-1}{3}$$

Leggðu -\frac{1}{3} saman við -\frac{8}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=-4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-9x+6y=3,7x-2y=-13$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-9&6\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-9&6\\7&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&6\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-13\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-13\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-9\left(-2\right)-6\times 7}&-\frac{6}{-9\left(-2\right)-6\times 7}\\-\frac{7}{-9\left(-2\right)-6\times 7}&-\frac{9}{-9\left(-2\right)-6\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{24}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 3+\frac{1}{4}\left(-13\right)\\\frac{7}{24}\times 3+\frac{3}{8}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-3,y=-4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-9x+6y=3,7x-2y=-13$$

Til að gera -9x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -9.

$$7\left(-9\right)x+7\times 6y=7\times 3,-9\times 7x-9\left(-2\right)y=-9\left(-13\right)$$

Einfaldaðu.

$$-63x+42y=21,-63x+18y=117$$

Dragðu -63x+18y=117 frá -63x+42y=21 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-63x+63x+42y-18y=21-117$$

Leggðu -63x saman við 63x. Liðirnir -63x og 63x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$42y-18y=21-117$$

Leggðu 42y saman við -18y.

$$24y=21-117$$

Leggðu 21 saman við -117.

$$24y=-96$$

Deildu báðum hliðum með 24.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í 7x-2y=-13. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x-2\left(-4\right)=-13$$

Margfaldaðu -2 sinnum -4.

$$7x+8=-13$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=-21$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=-4$$