Leysa {c}{-5x+3y=-8}{-x-3y=2}(1,-1)

$$\left. \begin{array} { c } { - 5 x + 3 y = - 8 } \\ { - x - 3 y = 2 } \end{array} \right. ( 1 , - 1 )$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-5x+3y=-8,-x-3y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-5x+3y=-8$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5x=-3y-8$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-3y-8\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{5} sinnum -3y-8.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

Settu \frac{3y+8}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x-3y=2.

$$-\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)-3y=2$$

Margfaldaðu -1 sinnum \frac{3y+8}{5}.

$$-\frac{3}{5}y-\frac{8}{5}-3y=2$$

Leggðu -\frac{3y}{5} saman við -3y.

$$-\frac{18}{5}y-\frac{8}{5}=2$$

Leggðu \frac{8}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{18}{5}y=\frac{18}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{18}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{5}\left(-1\right)+\frac{8}{5}$$

Margfaldaðu \frac{3}{5} sinnum -1.

$$x=\frac{-3+8}{5}$$

Leggðu \frac{8}{5} saman við -\frac{3}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-5x+3y=-8,-x-3y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}&-\frac{5}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{1}{18}&-\frac{5}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-8\right)-\frac{1}{6}\times 2\\\frac{1}{18}\left(-8\right)-\frac{5}{18}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-5x+3y=-8,-x-3y=2$$

Til að gera -5x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -5.

$$-\left(-5\right)x-3y=-\left(-8\right),-5\left(-1\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 2$$

Einfaldaðu.

$$5x-3y=8,5x+15y=-10$$

Dragðu 5x+15y=-10 frá 5x-3y=8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5x-5x-3y-15y=8+10$$

Leggðu 5x saman við -5x. Liðirnir 5x og -5x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3y-15y=8+10$$

Leggðu -3y saman við -15y.

$$-18y=8+10$$

Leggðu 8 saman við 10.

$$-18y=18$$

Deildu báðum hliðum með -18.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í -x-3y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x-3\left(-1\right)=2$$

Margfaldaðu -3 sinnum -1.

$$-x+3=2$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-1$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-1$$