Leysa {c}{-3x+5y=2}{x+10y=-24}

$$\left. \begin{array} { c } { - 3 x + 5 y = 2 } \\ { x + 10 y = - 24 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-4$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-3x+5y=2$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3x=-5y+2$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-5y+2\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum -5y+2.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}$$

Settu \frac{5y-2}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+10y=-24.

$$\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}+10y=-24$$

Leggðu \frac{5y}{3} saman við 10y.

$$\frac{35}{3}y-\frac{2}{3}=-24$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{35}{3}y=-\frac{70}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{35}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}$$

Margfaldaðu \frac{5}{3} sinnum -2.

$$x=\frac{-10-2}{3}$$

Leggðu -\frac{2}{3} saman við -\frac{10}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-3\times 10-5}&-\frac{5}{-3\times 10-5}\\-\frac{1}{-3\times 10-5}&-\frac{3}{-3\times 10-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{35}&\frac{3}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\left(-24\right)\\\frac{1}{35}\times 2+\frac{3}{35}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-4,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

Til að gera -3x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -3.

$$-3x+5y=2,-3x-3\times 10y=-3\left(-24\right)$$

Einfaldaðu.

$$-3x+5y=2,-3x-30y=72$$

Dragðu -3x-30y=72 frá -3x+5y=2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3x+3x+5y+30y=2-72$$

Leggðu -3x saman við 3x. Liðirnir -3x og 3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$5y+30y=2-72$$

Leggðu 5y saman við 30y.

$$35y=2-72$$

Leggðu 2 saman við -72.

$$35y=-70$$

Deildu báðum hliðum með 35.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x+10y=-24. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+10\left(-2\right)=-24$$

Margfaldaðu 10 sinnum -2.

$$x-20=-24$$

Leggðu 20 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=-2$$