Leysa {c}{(1-2/x+1)divx^2-2x+1/x+1=y}{x=sqrt{2}+1}

$$\left. \begin{array} { c } { ( 1 - \frac { 2 } { x + 1 } ) \div \frac { x ^ { 2 } - 2 x + 1 } { x + 1 } = y } \\ { x = \sqrt { 2 } + 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\sqrt{2}+1\approx 2.414213562$$

$$y=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707106781$$

Lausnarskref

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Settu þekkt gildi breyta inn í jöfnu.

$$\frac{1-\frac{2}{\sqrt{2}+1+1}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Leggðu saman 1 og 1 til að fá 2.

$$\frac{1-\frac{2}{\sqrt{2}+2}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Gerðu nefnara \frac{2}{\sqrt{2}+2} að ræðri tölu með því að margfalda teljarann og nefnarann með \sqrt{2}-2.

$$\frac{1-\frac{2\left(\sqrt{2}-2\right)}{\left(\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Íhugaðu \left(\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{2}-2\right). Hægt er að breyta margföldun í mismun annarra velda með reglunni: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{1-\frac{2\left(\sqrt{2}-2\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Hefðu \sqrt{2} í annað veldi. Hefðu 2 í annað veldi.

$$\frac{1-\frac{2\left(\sqrt{2}-2\right)}{2-4}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Dragðu 4 frá 2 til að fá út -2.

$$\frac{1-\frac{2\left(\sqrt{2}-2\right)}{-2}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Styttu burt -2 og -2.

$$\frac{1-\left(-\left(\sqrt{2}-2\right)\right)}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Gagnstæð tala tölunnar -\left(\sqrt{2}-2\right) er \sqrt{2}-2.

$$\frac{1+\sqrt{2}-2}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Dragðu 2 frá 1 til að fá út -1.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Notaðu tvíliðusetninguna \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til að stækka \left(\sqrt{2}+1\right)^{2}.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}+1-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

\sqrt{2} í öðru veldi er 2.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{2+2\sqrt{2}+1-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Leggðu saman 2 og 1 til að fá 3.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{3+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Leggðu saman 3 og 1 til að fá 4.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Leggðu saman 1 og 1 til að fá 2.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+2}}=y$$

Gerðu nefnara \frac{4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+2} að ræðri tölu með því að margfalda teljarann og nefnarann með \sqrt{2}-2.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{\left(\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}}=y$$

Íhugaðu \left(\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{2}-2\right). Hægt er að breyta margföldun í mismun annarra velda með reglunni: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}}=y$$

Hefðu \sqrt{2} í annað veldi. Hefðu 2 í annað veldi.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{2-4}}=y$$

Dragðu 4 frá 2 til að fá út -2.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{-2}}=y$$

Deildu -1+\sqrt{2} með \frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{-2} með því að margfalda -1+\sqrt{2} með umhverfu \frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{-2}.

$$\frac{\left(-1+\sqrt{2}\right)\left(-2\right)}{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}=y$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -1+\sqrt{2} með -2.

$$\frac{2-2\sqrt{2}}{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}=y$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -2 með \sqrt{2}+1.

$$\frac{2-2\sqrt{2}}{\left(4+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}=y$$

Sameinaðu 2\sqrt{2} og -2\sqrt{2} til að fá 0.

$$\frac{2-2\sqrt{2}}{\left(4-2\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}=y$$

Dragðu 2 frá 4 til að fá út 2.

$$\frac{2-2\sqrt{2}}{2\left(\sqrt{2}-2\right)}=y$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með \sqrt{2}-2.

$$\frac{2-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-4}=y$$

Gerðu nefnara \frac{2-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-4} að ræðri tölu með því að margfalda teljarann og nefnarann með 2\sqrt{2}+4.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{\left(2\sqrt{2}-4\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}=y$$

Íhugaðu \left(2\sqrt{2}-4\right)\left(2\sqrt{2}+4\right). Hægt er að breyta margföldun í mismun annarra velda með reglunni: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-4^{2}}=y$$

Víkka \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-4^{2}}=y$$

Reiknaðu 2 í 2. veldi og fáðu 4.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-4^{2}}=y$$

\sqrt{2} í öðru veldi er 2.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{4\times 2-4^{2}}=y$$

Margfaldaðu 4 og 2 til að fá út 8.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{8-4^{2}}=y$$

Reiknaðu 4 í 2. veldi og fáðu 16.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{8-16}=y$$

Dragðu 16 frá 8 til að fá út -8.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{-8}=y$$

Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$y=\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{-8}$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2-2\sqrt{2} með 2\sqrt{2}+4 og sameina svipuð hugtök.

$$y=\frac{-4\sqrt{2}+8-4\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{-8}$$

\sqrt{2} í öðru veldi er 2.

$$y=\frac{-4\sqrt{2}+8-4\times 2}{-8}$$

Margfaldaðu -4 og 2 til að fá út -8.

$$y=\frac{-4\sqrt{2}+8-8}{-8}$$

Dragðu 8 frá 8 til að fá út 0.

$$y=\frac{-4\sqrt{2}}{-8}$$

Deildu -4\sqrt{2} með -8 til að fá \frac{1}{2}\sqrt{2}.

$$y=\frac{1}{2}\sqrt{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\sqrt{2}+1 y=\frac{1}{2}\sqrt{2}$$